Preklad čísel v pozičných číselných sústavách. Číselné sústavy

Prevod čísel v binárnych, osmičkových a hexadecimálnych číslach na desiatkové je pomerne jednoduchý. Aby ste to dosiahli, musíte si zapísať číslo v rozšírenej forme a vypočítať jeho hodnotu.

Prevod čísla z binárneho na desiatkové. Vezmime si ľubovoľné binárne číslo, napríklad 10.112. Napíšme to v rozšírenej forme a urobme výpočty:

10,112 = 1* 21 +0*2° + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*2 + 0*1 + 1*1/2 + 1*1/4 = 2,7510.

Prevod čísel z osmičkového na desiatkové.

Zoberme si ľubovoľné osmičkové číslo, napríklad 67,58. Napíšme to v rozšírenej forme a urobme výpočty:

67,58 = 6*81 + 7*8° + 5*8-1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55,62510.

Prevod čísel zo šestnástkovej sústavy na desiatkovú.

Zoberme si akékoľvek šestnástkové číslo, napríklad 19F16. Napíšme to v rozšírenej forme (nezabudnite, že šestnástková číslica F zodpovedá desatinnému číslu 15) a vykonajte výpočty:

19F16 = 1*162 + 9*161 + F*16° = 1*256 + 9*16 + 15*1 = 41510.

Prevod čísel z desiatkových na binárne, osmičkové a hexadecimálne je zložitejší a dá sa vykonať rôznymi spôsobmi. Uvažujme jeden z prekladových algoritmov na príklade prevodu čísel z desiatkovej sústavy do dvojkovej sústavy. Malo by sa vziať do úvahy, že algoritmy na prevod celých čísel a vlastných zlomkov sa budú líšiť.

Algoritmus na prevod celých desiatkových čísel do dvojkovej číselnej sústavy. Nech Acd je celé desiatkové číslo. Zapíšme to ako súčet mocnín základu 2 s binárnymi koeficientmi. Vo svojej rozšírenej forme nebudú existovať žiadne negatívne mocniny základne (čísla 2):

Acd= an-1*2n-1+ an-2*2n-2+…+ a1*21+a0*20

V prvom kroku vydelíme číslo A základom dvojkovej sústavy, teda 2. Podiel delenia sa bude rovnať

an-1*2n-2+ an-2*2n-3+...+ a1

V druhom kroku opäť vydelíme celočíselný kvocient 2, zvyšok delenia bude teraz rovný a0

Ak pokračujeme v tomto procese delenia, potom po n-tom kroku dostaneme sekvenciu zvyškov:

a0, a1, ..., an-1

Je ľahké vidieť, že ich postupnosť sa zhoduje s obrátenou postupnosťou číslic celého binárneho čísla zapísaného v zbalenej forme:

A2 = an-1…a1a0

Na získanie požadovaného binárneho čísla teda stačí zapísať zvyšky v opačnom poradí.

Algoritmus na prevod celého desiatkového čísla na binárne bude nasledujúci:

Dôsledne vydeľte pôvodné celé desiatkové číslo a výsledné celočíselné podiely základom sústavy (2), kým nezískate podiel, ktorý je menší ako deliteľ, teda menší ako 2.

Výsledné zostatky zapíšte v opačnom poradí.

Ako príklad zvážte prevod desiatkového čísla 19 na binárne a zaznamenanie výsledkov do tabuľky:

Výsledkom je binárne číslo: A2 = a 4 a 3a 2a1 a0 = 100112.

Algoritmus na prevod správnych desatinných zlomkov do dvojkovej číselnej sústavy. Nech A je správny desatinný zlomok. Vo svojej rozšírenej forme nebudú existovať žiadne pozitívne sily základne (čísla 2):

Pridať = a-1*2-1+ a-2*2-2

V prvom kroku vynásobíme číslo Add základom dvojkovej sústavy, teda 2. Súčin sa bude rovnať:

a-1 +a-2*2-1+…

Celá časť sa bude rovnať a-1

V druhom kroku zvyšnú zlomkovú časť opäť vynásobíme 2, dostaneme celú časť rovnú a-2

Opísaný proces musí pokračovať dovtedy, kým v dôsledku násobenia nezískame nulovú zlomkovú časť alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť výpočtu.

Je ľahké si všimnúť, že postupnosť výsledných čísel sa zhoduje so sekvenciou číslic zlomkového binárneho čísla napísaného v zbalenej forme:

Algoritmus na prevod správneho desatinného zlomku na binárny bude nasledujúci:

1. Dôsledne násobte pôvodný desatinný zlomok a výsledné zlomkové časti súčinov základom systému (2), kým sa nedosiahne nulová zlomková časť alebo sa nedosiahne požadovaná presnosť výpočtu.
2. Výsledné celé časti práce zapíšte v priamom slede.

Ako príklad zvážte prevod desatinného zlomku 0,75 na binárny, pričom výsledky zaznamenajte do tabuľky:

Výsledkom je binárny zlomok: A2 = 0 a -1a-2 = 0,112.

Konverzia čísel z pozičného systému s ľubovoľnou bázou p na systém so základňou q sa vykonáva pomocou algoritmov podobných tým, ktoré sú diskutované vyššie.

Uvažujme o algoritme prevodu celých čísel na príklade prevodu desiatkového celého čísla A10 = 42410 do šestnástkovej sústavy, teda z číselnej sústavy so základom p = 10 do číselnej sústavy so základom q = 16.

V procese vykonávania algoritmu je potrebné dbať na to, že všetky úkony musia byť vykonané v pôvodnej číselnej sústave (v tomto prípade desiatkovej) a výsledné zvyšky musia byť zapísané číslicami novej číselnej sústavy (v v tomto prípade hexadecimálne).

Uvažujme teraz o algoritme na prevod zlomkových čísel na príklade prevodu desatinného zlomku A10 = 0,625 do osmičkovej sústavy, teda z číselnej sústavy so základom p = 10 do číselnej sústavy so základom q = 8.

Prevod čísel medzi číselnými sústavami, ktorých základy sú mocniny 2 (q = 2n), je možné vykonať pomocou jednoduchších algoritmov. Takéto algoritmy možno použiť na prevod čísel medzi binárnymi (q = 21), osmičkovými (q = 23) a hexadecimálnymi (q = 24) číselnými systémami.

Prevod čísel z binárnych do osmičkových. Na zápis binárnych čísel sa používajú dve číslice, to znamená, že v každej číslici čísla sú možné 2 možnosti zápisu. Riešime exponenciálnu rovnicu:

2 = 21. Pretože 2 je 21, potom I = 1 bit.

Každý bit binárneho čísla obsahuje 1 bit informácie o možnosti záznamu. Poďme vyriešiť exponenciálnu rovnicu

8 = 2i. Pretože 8 = 23, potom I = 3 bity. Každý variant osmičkového čísla obsahuje 3 bity informácie

Ak teda chcete previesť celé binárne číslo na osmičkové, musíte ho rozdeliť na skupiny troch číslic sprava doľava a potom každú skupinu previesť na osmičkovú číslicu. Ak posledná, ľavá, skupina obsahuje menej ako tri číslice, musí byť doplnená vľavo nulami.

Preveďme binárne číslo 1010012 na osmičkové takto: 518

Pre zjednodušenie prekladu si môžete vopred pripraviť tabuľku na prevod binárnych triád (skupiny 3 číslic) na osmičkové číslice:

bude menej ako štyri číslice, potom ho musíte vyplniť vpravo nulami.

Potom musíte previesť každú skupinu na hexadecimálnu číslicu pomocou vopred zostavenej tabuľky zhody medzi binárnymi tetrádami a hexadecimálnymi číslicami.

Preveďme binárne celé číslo A2 = 1010012 na hexadecimálne:

Ak chcete previesť zlomkové binárne číslo (správny zlomok) na osmičkové, musíte ho rozdeliť na triády zľava doprava a ak posledná, pravá, skupina obsahuje menej ako tri číslice, pridajte nuly doprava. Ďalej musíte nahradiť triády osmičkovými číslami.

Napríklad transformujme zlomkové binárne číslo A2 = = 0,1101012 na osmičkovú číselnú sústavu:

Dostaneme: A8 = 0,658.

Prevod čísel z binárnych na hexadecimálne.

Na písanie hexadecimálnych čísel sa používa šestnásť číslic, to znamená, že v každej číslici čísla je možných 16 možností zápisu. Riešime exponenciálnu rovnicu:

16 = 21. Pretože 16 = 24, potom I = 4 bity.

Každá číslica hexadecimálneho čísla obsahuje 4 bity informácie.

Ak teda chcete previesť celé binárne číslo na šestnástkové číslo, musíte ho rozdeliť do skupín po štyroch čísliciach (tetradách), počínajúc sprava, a ak posledná ľavá skupina obsahuje menej ako štyri číslice, doplňte ju naľavo nulami. Ak chcete previesť zlomkové binárne číslo (správny zlomok) na hexadecimálne, musíte ho rozdeliť zľava doprava na tetrády a ak posledná pravá skupina obsahuje menej ako 4 číslice, musíte ho doplniť nulami vpravo.

Aby bolo možné previesť akékoľvek binárne číslo na osmičkové alebo hexadecimálne číselné systémy, je potrebné vykonať prevody pomocou vyššie uvedených algoritmov oddelene pre jeho celočíselné a zlomkové časti.

Ak chcete previesť čísla z osmičkových a hexadecimálnych číselných systémov na binárne, musíte previesť číslice čísla na skupiny binárnych číslic. Ak chcete previesť z osmičkového na binárne, každá číslica čísla sa musí previesť na skupinu troch binárnych číslic (triáda) a pri prevode hexadecimálneho čísla na skupinu štyroch číslic (tetráda).

Napríklad preveďme zlomkové osmičkové číslo A8 = 0,478 do binárneho číselného systému:

V časti o otázke ako prejsť z desiatkovej číselnej sústavy na dvojkovú? daný autorom Tatyana Tatyana najlepšia odpoveď je Prevod desiatkových čísel na binárne

Povedzme, že potrebujeme previesť číslo 19 na binárne. Môžete použiť nasledujúci postup:

19/2 = 9 so zvyškom 1
9/2 = 4 so zvyškom 1
4/2 = 2 so zvyškom 0
2/2 = 1 so zvyškom 0
1/2 = 0 so zvyškom 1

Každý kvocient teda vydelíme 2 a zvyšok zapíšeme ako 1 alebo 0. V delení musíme pokračovať, kým dividenda nebude obsahovať 1. Čísla zo zvyšku dávame jedno za druhým, začínajúc od konca. V dôsledku toho dostaneme číslo 19 v binárnom zápise (začínajúc od konca): 10011.

Veľa štastia))

Odpoveď od Rosella[guru]

Pre prevod 19 na binárne vyberieme v hornom riadku najväčšie číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 19. V našom prípade je to 16. (Pred 19 chýbajú 3 ďalšie) Ďalšie číslo, ktoré je deliteľné 3 bez. zvyšok je 2. (1 zostáva) 1 je deliteľné 1 bez zvyšku. Vybrali sme čísla 16 - 2 - 1. Pod ne napíšeme „1“, pod zvyšok „0“. Dostaneme 10011.
V slovách to vyzerá dosť ťažkopádne. Ale ak sa pozriete bližšie na tabuľku, nie je v nej nič zložité. Rýchlo sa zapamätá a na preklad nie je potrebné pero ani papier.

Binárny číselný systém používa iba dve číslice, 0 a 1. Inými slovami, dvojka je základom binárneho číselného systému. (Podobne aj desiatková sústava má základ 10.)

Aby ste sa naučili porozumieť číslam v binárnej číselnej sústave, najprv zvážte, ako sa tvoria čísla v nám známej desiatkovej číselnej sústave.

V desiatkovej číselnej sústave máme desať číslic (od 0 do 9). Keď počet dosiahne 9, zadá sa nová číslica (desiatky), jednotky sa vynulujú a počítanie sa spustí znova. Po 19 sa počet desiatok zvýši o 1 a jednotky sa opäť vynulujú. A tak ďalej. Keď desiatky dosiahnu 9, objaví sa tretia číslica - stovky.

Binárny číselný systém je podobný desiatkovému číselnému systému s tým rozdielom, že na tvorbe čísla sa podieľajú iba dve číslice: 0 a 1. Hneď ako číslica dosiahne svoj limit (t. j. jedna), objaví sa nová číslica a stará sa vynuluje.

Skúsme počítať v dvojkovej sústave:
0 je nula
1 je jedna (a toto je limit vybíjania)
10 sú dva
11 je tri (a to je opäť limit)
100 sú štyri
101 – päť
110 – šesť
111 – sedem atď.

Prevod čísel z binárnych na desiatkové

Nie je ťažké si všimnúť, že v systéme binárnych čísel sa dĺžky čísel rýchlo zvyšujú, keď sa hodnoty zvyšujú. Ako zistiť, čo to znamená: 10001001? Ľudský mozog, ktorý nie je zvyknutý na túto formu písania čísel, zvyčajne nedokáže pochopiť, koľko to je. Bolo by pekné mať možnosť previesť binárne čísla na desiatkové.

V desiatkovej číselnej sústave môže byť akékoľvek číslo reprezentované ako súčet jednotiek, desiatok, stoviek atď. Napríklad:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Pozorne si prezrite tento záznam. Čísla 1, 4, 7 a 6 sú množinou čísel, ktoré tvoria číslo 1476. Všetky tieto čísla sa postupne násobia desiatimi zvýšenými o jeden alebo druhý stupeň. Desať je základom desiatkovej číselnej sústavy. Mocnina, na ktorú sa desiatka zvýši, je číslica číslice mínus jedna.

Akékoľvek binárne číslo je možné rozšíriť podobným spôsobom. Len základ tu bude 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Tie. Číslo 10001001 v základe 2 sa rovná číslu 137 v základe 10. Môžete ho zapísať takto:

10001001 2 = 137 10

Prečo je binárna číselná sústava taká bežná?

Faktom je, že binárny číselný systém je jazykom výpočtovej techniky. Každé číslo musí byť nejakým spôsobom znázornené na fyzickom médiu. Ak ide o desiatkovú sústavu, budete musieť vytvoriť zariadenie, ktoré môže mať desať stavov. Je to komplikované. Jednoduchšie je vyrobiť fyzický prvok, ktorý môže byť len v dvoch stavoch (napríklad je prúd alebo nie je prúd). To je jeden z hlavných dôvodov, prečo sa binárnej číselnej sústave venuje toľko pozornosti.

Prevod desiatkového čísla na binárne

Možno budete musieť previesť desiatkové číslo na binárne. Jedným zo spôsobov je deliť dvomi a zo zvyšku vytvoriť binárne číslo. Napríklad musíte získať jeho binárny zápis z čísla 77:

77 / 2 = 38 (1 zvyšok)
38 / 2 = 19 (0 zvyšok)
19 / 2 = 9 (1 zvyšok)
9/2 = 4 (1 zvyšok)
4/2 = 2 (0 zvyšok)
2 / 2 = 1 (0 zvyšok)
1/2 = 0 (1 zvyšok)

Zvyšky zbierame spolu, začínajúc od konca: 1001101. Toto je číslo 77 v binárnom vyjadrení. Skontrolujme to:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Číselné sústavy

Pre pohodlie následnej konverzie je diskrétny signál podrobený kódovanie(pre kódovanie pozri časť Kódovanie signálu). Väčšina kódov je založená na číselných sústavách, navyše využívajúcich pozičný princíp tvorby čísla, v ktorom hodnota každej číslice závisí od jej polohy v čísle.

Príkladom pozičnej formy písania čísel je tá, ktorú používame (tzv. arabská forma čísel). Takže napríklad v číslach 123 a 321 je význam čísla 3 určený jeho pozíciou v čísle: v prvom prípade to znamená tri jednotky (t. j. len tri) a v druhom tri stovky (t. j. tristo).

Potom sa celkový počet získa podľa vzorca:

Kde l – počet číslic čísla zmenšený o 1,

i- poradie prepustenia,

m- základ číselnej sústavy,

a i– násobiteľ, ktorý nadobúda ľubovoľnú celočíselnú hodnotu od 0 do m-1 a príslušné číslo i- poradie čísla.

Napríklad pre desatinné ( m= 10) z čísla 345 sa jeho plná hodnota vypočíta podľa vzorca:

3*10 2 + 4*10 1 + 5*10 0 = 345.

Rímske čísla sú príkladom polopozičného systému tvorby čísel: teda v číslach IX a XI znak I označuje v oboch prípadoch jeden (znak nepolohového systému), ale nachádza sa naľavo od znak X (označujúci desať) sa odčíta od desiatich a keď sa nachádza vpravo, pridá sa k desiatke. V prvom prípade je plná hodnota čísla 9, v druhom - 11.

V modernej informatike existujú najmä tri číselné sústavy (všetky pozičné): binárne, šestnástkové a desiatkové.

Binárny číselný systém slúži na zakódovanie diskrétneho signálu, ktorého spotrebiteľom je výpočtová technika. Tento stav sa vyvíjal historicky, pretože binárny signál sa ľahšie reprezentuje na hardvérovej úrovni. V tomto číselnom systéme sa na vyjadrenie čísel používajú dva znaky - 0 a 1.

Hexadecimálna číselná sústava slúži na zakódovanie diskrétneho signálu, ktorého konzumentom je dobre vyškolený používateľ - špecialista v oblasti informatiky. Tento formulár predstavuje obsah ľubovoľného súboru požadovaného cez integrované shelly operačného systému, napríklad pomocou Norton Commander v prípade MS DOS. Znaky používané na vyjadrenie čísla sú desatinné číslice od 0 do 9 a písmená latinskej abecedy - A, B, C, D, E, F.

Desatinná číselná sústava sa používa na zakódovanie diskrétneho signálu, ktorého konzumentom je takzvaný koncový užívateľ - nešpecialista v oblasti informatiky (samozrejme, že takýmto spotrebiteľom môže vystupovať každá osoba). Symboly používané na reprezentáciu čísla sú čísla od 0 do 9.

Na rozlíšenie číselných systémov, v ktorých sú čísla zastúpené, sa do označenia binárnych a hexadecimálnych čísel zavádzajú ďalšie podrobnosti:

pre binárne čísla - dolný index napravo od čísla v tvare čísla 2 alebo písmen B alebo b (binárne), alebo znak B alebo b napravo od čísla. Napríklad 101000 2 = 101000 b = 101000 B = 101000B = 101000b;

pre hexadecimálne čísla - dolný index napravo od čísla v tvare čísla 16 alebo písmen H alebo h (hexadecimálne) alebo znak H alebo h napravo od čísla. Napríklad 3AB 16 = 3AB H = 3AB h = 3ABH = 3ABh.

Existujú určité pravidlá pre prevod čísel z jedného číselného systému do druhého. Líšia sa v závislosti od formátu čísla – celý alebo vlastný zlomok. Pre reálne čísla sa používa kombinácia pravidiel prekladu pre celé číslo a vlastný zlomok

Pravidlá pre prevod celých čísel

Výsledok prevodu celého čísla Vždy je celé číslo.

Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na dvojkovú a šestnástkovú sústavu:

a) pôvodné celé číslo sa vydelí základom číselnej sústavy, do ktorej sa prekladá (2 - pri prevode do binárnej číselnej sústavy alebo 16 - pri prevode do šestnástkovej sústavy); získa sa kvocient a zvyšok;

b) ak je výsledný kvocient menší ako základ číselnej sústavy, do ktorej sa prevod vykonáva, proces delenia sa zastaví, prejdite na krok c). V opačnom prípade sa akcie opísané v kroku a) vykonajú na kvociente.

c) všetky prijaté zvyšky a posledný podiel sa prepočítajú podľa prevodnej tabuľky na čísla číselnej sústavy, do ktorej sa prevod vykonáva;

d) vznikne výsledné číslo: jeho najvyššia číslica je posledný získaný kvocient, každá ďalšia nízka číslica sa vytvorí z výsledných zvyškov delenia, počnúc poslednou a končiacou prvou. Najmenší významná číslica výsledného čísla je teda prvý zvyšok delenia a najvyššia číslica je posledný kvocient.

Príklad 1 . Preveďte číslo 19 na binárnu číselnú sústavu:

Teda 19 = 10011 2.

Príklad 2 . Preveďte číslo 19 na hexadecimálnu číselnú sústavu:

Teda 19 = 13 16.

Príklad 3 Preveďte číslo 123 na hexadecimálnu číselnú sústavu:

Tu je zvyšok 11 prevedený na hexadecimálnu číslicu B) a potom je táto číslica zahrnutá do čísla. Teda 123 = 7V 16.

Prevod z binárnych a hexadecimálnych číselných sústav na desiatkové.

V tomto prípade sa plná hodnota čísla vypočíta pomocou známeho vzorec.

Príklad 4. Preveďte číslo 13 16 do desiatkovej číselnej sústavy. Máme:

13 16 = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.

Teda 13 16 = 19.

Príklad 5. Preveďte číslo 10011 2 do desiatkovej číselnej sústavy. Máme:

10011 2 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.

Teda 10011 2 = 19.

a) pôvodné číslo je rozdelené na tetrády (t. j. 4 číslice), začínajúc od najmenej významných číslic. Ak počet číslic pôvodného binárneho čísla nie je násobkom 4, doplní sa vľavo nevýznamnými nulami, kým sa nedosiahne násobok 4;

b) každá tetráda bude nahradená zodpovedajúcou hexadecimálnou číslicou v súlade s tabuľky.

Binárne číslo	Hexadecimálne číslo

Príklad 6. Preveďte číslo 10011 2 na hexadecimálnu číselnú sústavu.

Keďže počet číslic v pôvodnom binárnom čísle nie je násobkom 4, dopĺňame ho vľavo nepodstatnými nulami, až kým počet číslic nedosiahne násobok 4. Máme:

V súlade s tabuľky 0011 2 = 11 2 = 3 16 a 0001 2 = 1 2 = 1 16 .

Potom 10011 2 = 13 16.

Prevod z binárneho na osmičkové

Podobne ako pri algoritme prevodu z dvojkovej do šestnástkovej sústavy je iba pôvodné číslo rozdelené na triády. Tabuľka

Binárne číslo	Hexadecimálne číslo

a) každá číslica pôvodného čísla sa nahradí tetradou binárnych číslic v súlade s tabuľky. Ak má binárne číslo v tabuľke menej ako 4 číslice, doplní sa naľavo nevýznamnými nulami k tetráde;

b) nevýznamné nuly vo výslednom čísle sa vyradia.

Príklad 7. Preveďte číslo 13 16 do binárnej číselnej sústavy.

Autor: tabuľky máme:

1 16 = 1 2 a po doplnení nevýznamnými nulami binárneho čísla 1 2 = 0001 2;

3 16 = 11 2 a po doplnení nevýznamnými nulami binárneho čísla 11 2 = 0011 2.

Potom 13 16 = 00010011 2. Po odstránení nevýznamných núl máme 13 16 = 10011 2.

Od osmičkového po binárne je to rovnaké.

Pravidlá pre prevod správnych zlomkov

Pripomeňme, že poriadny zlomok má nulovú celočíselnú časť, t.j. jeho čitateľ je menší ako jeho menovateľ.

Výsledok prevodu správneho zlomku Vždy správny zlomok.

Prevod z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej a šestnástkovej sústavy:

a) pôvodný zlomok sa vynásobí základom číselnej sústavy, do ktorej sa prevedie (2 alebo 16);

b) vo výslednom produkte sa celočíselná časť prevedie na číslicu požadovanej číselnej sústavy a zahodí - je to najvyššia číslica výsledného zlomku;

c) zostávajúca zlomková časť (toto je vlastný zlomok) sa opäť vynásobí požadovaným základom číselnej sústavy, po čom nasleduje spracovanie výsledného produktu v súlade s krokmi a) a b);

d) postup násobenia pokračuje dovtedy, kým sa nezíska nulový výsledok v zlomkovej časti súčinu alebo kým sa nedosiahne požadovaný počet číslic vo výsledku;

e) vytvorí sa požadované číslo: číslice postupne vyradené v kroku b) tvoria zlomkovú časť výsledku a v klesajúcom poradí podľa priority.

Príklad 1 . Preveďte číslo 0,847 do binárnej číselnej sústavy. Preveďte na štyri platné číslice za desatinnou čiarkou.

Teda 0,847 = 0,1101 2.

V tomto príklade je postup prekladu prerušený vo štvrtom kroku, pretože bol prijatý požadovaný počet číslic výsledku. To samozrejme viedlo k strate niekoľkých čísel.

Príklad 2 Preveďte číslo 0,847 na hexadecimálnu číselnú sústavu. Preveďte na tri platné číslice.

V tomto príklade sa preruší aj postup prenosu.

Teda 0,847 = 0,D8D 16.

Preklad od binárnych a hexadecimálnych číselných sústav po desiatkové.

V tomto prípade sa plná hodnota čísla vypočíta podľa vzorec a koeficienty a i mať desatinnú hodnotu

Príklad 3 . Prevod z binárnej číselnej sústavy na desiatkové číslo 0,1101 2.

0,1101 2 = 1*2 -1 + 1*2 -2 + 0*2 -3 +1*2 -4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.

príklad 1) je spôsobené tým, že bol prerušený postup prevodu na binárny zlomok.

Teda 0,1101 2 = 0,8125.

Príklad 4 . Prevod zo hexadecimálnej číselnej sústavy na desiatkové číslo 0,D8D 16.

0,D8D 16 = 13*16-1 + 8*16-2 + 13*16-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.

Rozdiel medzi získaným výsledkom a pôvodným číslom (pozri. príklad 2) je spôsobené tým, že bol prerušený postup prevodu na hexadecimálny zlomok.

Teda 0,D8D16 = 0,84692.

Prevod z binárneho na hexadecimálny:

a) pôvodný zlomok je rozdelený na tetrády, začínajúc od pozície desatinnej čiarky doprava. Ak počet číslic zlomkovej časti pôvodného binárneho čísla nie je násobkom 4, doplní sa vpravo nevýznamnými nulami, kým sa nedosiahne násobok 4;

b) každá tetráda sa nahradí hexadecimálnou číslicou v súlade s tabuľky.

Príklad 5 . Prevod z binárneho číselného systému na hexadecimálne číslo 0,1101 2.

V súlade s tabuľky 1101 2 = D 16. Potom 0,1101 2 = 0,D 16.

Príklad 6 . Prevod z binárneho číselného systému na hexadecimálne číslo 0,0010101 2.

Keďže počet číslic zlomkovej časti nie je násobkom 4, pridáme nevýznamnú nulu vpravo:

V súlade s tabuľky 0010 2 = 10 2 = 2 16 a 1010 2 = A 16.

Potom 0,0010101 2 = 0,2 A 16.

Konverzia zo šestnástkovej sústavy na binárnu:

a) každá číslica pôvodného zlomku je nahradená tetradou binárnych číslic v súlade s tabuľky;

b) nevýznamné nuly sa vyhodia.

Príklad 7 . Prevod zo hexadecimálnej číselnej sústavy na binárne číslo 0,2A 16.

Autor: tabuľky máme 2 16 = 0010 2 a A 16 = 1010 2.

Potom 0,2A16 = 0,00101010 2.

Výsledkom je, že zahodíme bezvýznamnú nulu a dostaneme konečnú odpoveď: 0,2A 16 = 0,0010101 2

Pravidlo na prevod zlomkov (nepravidelné zlomky)

Pripomeňme, že nevlastný zlomok má nenulovú zlomkovú časť, t.j. jeho čitateľ je väčší ako jeho menovateľ.

Nesprávny výsledok konverzie frakcií Vždy nesprávny zlomok.

Pri preklade sa oddelene prekladá celá časť čísla a oddelene zlomková časť. Výsledky sa sčítajú.

Príklad 1 . Prevod z desiatkovej číselnej sústavy na šestnástkové číslo 19,847. Preklad sa vykonáva na tri platné číslice za desatinnou čiarkou.

Predstavme si pôvodné číslo ako súčet celého čísla a vlastného zlomku:

19,847 = 19 + 0,847.

Ako vyplýva z príklad 2 oddiele Prevod celého čísla 19 = 13 16, a v súlade s príklad 2 oddiele Preklad vlastných zlomkov 0,847 = 0,D8D 16.

Potom máme:

19 + 0,847 = 1316 + 0,D8D16 = 13,D8D16.

Teda 19,847 = 13.D8D 16.

Pravidlá vykonávania jednoduchých aritmetických operácií

Aritmetické operácie pre binárne a hexadecimálne čísla sa riadia rovnakými pravidlami ako pre desiatkové čísla, ktoré sú čitateľom známe. Pozrime sa na príklady vykonávania aritmetických operácií, ako je sčítanie, odčítanie a násobenie pre celé čísla.

Pravidlá sčítania

Tabuľka na pridávanie binárnych číslic vyzerá takto (súčet hodnoty sú zvýraznené žltou farbou):

Príklad 1 . Zložiť binárnečísla 1101 a 11011.

Proces vytvárania súčtu číslicami je opísaný nižšie:

a) poradie 1: 1 2 + 1 2 = 10 2; 0 zostáva v bite 1, 1 sa presunie na bit 2;

b) číslica 2: 0 2 + 1 2 + 1 2 = 10 2, kde druhá 1 2 je nosná jednotka; 0 zostáva v bite 2, 1 sa presunie na bit 3;

c) číslica 3: 1 2 + 0 2 + 1 2 = 10 2, kde druhá 1 2 je nosná jednotka; 0 zostáva v bite 3, 1 sa presunie na bit 4;

d) číslica 4: 1 2 + 1 2 + 1 2 = 11 2, kde tretia 1 2 je nosná jednotka; 1 zostáva v číslici 4, 1 sa presúva na číslicu 5;

e) poradie 5: 1 2 + 1 2 = 10 2; kde druhá 12 je prenosová jednotka; 0 zostáva v bite 5, 1 sa presunie na bit 6.

Teda: 1 1 0 1 2 + 1 1 0 1 1 2 = 10 1 0 0 0 2 .

Skontrolujeme výsledok. Aby sme to dosiahli, určíme úplné hodnoty termínov a súm (pozri. Prevod celého čísla):

1101 2 = 1*2 3 +1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 1 = 13;

11011 2 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 32 + 8 = 40.

Pretože 13 + 27 = 40, binárne sčítanie je správne.

Tabuľka na pridávanie niektorých hexadecimálnych čísel vyzerá takto (označenie riadkov a stĺpcov zodpovedá výrazom):

Príklad 2 . Zložiť hexadecimálnyčísla 1C a 7B.

Napíšeme pojmy do stĺpca a očíslujeme číslice, pričom priradíme najmenej významnú číslicu číslo 1:

Proces generovania výsledku číslicami pomocou daného tabuľky popísané nižšie:

a) kategória 1: C 16 + B 16 = 17 16; 7 zostáva v poradí 1; 1 sa prenesie na číslicu 2;

b) číslica 2: 1 16 + 7 16 + 1 16 = 9 16, kde druhá 1 16 je nosná jednotka.

Teda: 1 C 16 + 7 B 16 = 9 7 16.

Skontrolujeme výsledok. Na tento účel určíme úplné hodnoty výrazov a výsledok (pozri. Prevod celého čísla):

1C16 = 1*16 1 + 12*16 0 = 16 + 12 = 28;

7B16 = 7*16 1 + 11*16 0 = 112 + 11 = 123;

97 16 = 9*16 1 + 7*16 0 = 144 + 7 = 151.

Keďže 28 + 123 = 151, sčítanie je správne.

Pravidlá odčítania

Pri odčítaní sa použijú vyššie uvedené sčítacie tabuľky.

Príklad 3 . Odčítať od binárnečísla 101 binárnečíslo 11.

Pozičný číselný systém sa prvýkrát objavil v starovekom Babylone. V Indii systém funguje ako

pozičné desiatkové číslovanie pomocou nuly, Indovia majú tento číselný systém

arabský národ si požičiaval a Európania zasa brali od nich. V Európe sa tento systém stal

nazvite to arabsky.

Pozičný systém - význam všetkých číslic závisí od pozície (číslice) danej číslice v čísle.

Príklady, štandardný 10. číselný systém je pozičný systém. Povedzme, že je dané číslo 453.

Číslo 4 označuje stovky a zodpovedá číslu 400, 5 - počet desiatok a zodpovedá hodnote 50,

a 3 - jednotky a hodnota 3. Je ľahké si všimnúť, že so zvyšujúcou sa číslicou sa zvyšuje aj hodnota.

Dané číslo teda zapíšeme ako súčet 400+50+3=453.

Binárny číselný systém.

Sú tu len 2 číslice - 0 a 1. Základ dvojkovej sústavy- číslo 2.

Číslo umiestnené na samom okraji vpravo označuje počet jednotiek, druhé číslo označuje

Vo všetkých čísliciach je možná iba jedna číslica - buď nula alebo jedna.

Pomocou binárneho číselného systému je možné zakódovať akékoľvek prirodzené číslo reprezentáciou

Toto číslo je postupnosť núl a jednotiek.

Príklad: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

Binárny číselný systém, podobne ako desiatkový číselný systém, sa často používa vo výpočtovej technike

technológie. Počítač ukladá text a čísla do svojej pamäte v binárnom kóde a konvertuje ho programovo

do obrazu na obrazovke.

Sčítanie, odčítanie a násobenie binárnych čísel.

Tabuľka sčítania v binárnej číselnej sústave:

10 (preniesť na

vyššia hodnosť)

Tabuľka odčítania v binárnej číselnej sústave:

(pôžička od seniora

kategória) 1

Príklad pridania kolóny (14 10 + 5 10 = 19 10 alebo 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
+			1	0	1
	1	0	0	1	1

Tabuľka násobenia v binárnom číselnom systéme:

Príklad násobenia stĺpcov (14 10 * 5 10 = 70 10 alebo 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
*					1	0	1
+				1	1	1	0
+			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

Konverzia čísel v dvojkovej číselnej sústave.

Na prevod z binárneho na desiatkové použite nasledujúcu tabuľku exponentov

základy 2:

Počnúc číslicou jedna sa každá číslica násobí 2. Bodka po 1 sa volá binárny bod.

Previesť binárne čísla na desiatkové.

Nech existuje binárne číslo 110001 2. Pre prevod na desatinné číslo to zapíšeme ako súčet podľa

poradie takto:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Trochu inak:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Výpočet je tiež dobré zapísať ako tabuľku:

Pohybujeme sa sprava doľava. Pod všetky binárne jednotky napíšeme jej ekvivalent v riadku nižšie.

Previesť zlomkové binárne čísla na desatinné čísla.

Cvičenie: preveďte číslo 1011010, 101 2 do desiatkovej sústavy.

Dané číslo zapíšeme v tomto tvare:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Ďalšia možnosť nahrávania:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Alebo vo forme tabuľky:

								0.25	0.125

									0.125

Previesť desiatkové čísla na binárne.

Predpokladajme, že potrebujete previesť číslo 19 na binárne. Môžeme to urobiť takto:

19 /2 = 9 so zvyškom 1

9 /2 = 4 so zvyškom 1

4 /2 = 2 bez stopy 0

2 /2 = 1 bez stopy 0

1 /2 = 0 so zvyškom 1

To znamená, že každý podiel sa vydelí 2 a zvyšok sa zapíše na koniec binárneho zápisu. divízie

pokračuje, kým v kvociente nie je nula. Výsledok zapíšeme sprava doľava. Tie. nižšie

číslo (1) bude úplne vľavo a tak ďalej. Takže máme číslo 19 v binárnom zápise: 10011.

Prevod zlomkových desatinných čísel na binárne.

Keď dané číslo obsahuje celú časť, prevedie sa oddelene od zlomkovej časti. Preklad

prevod zlomkového čísla z desiatkovej číselnej sústavy do dvojkovej sústavy prebieha takto:

Zlomok sa vynásobí základom dvojkovej číselnej sústavy (2);

Vo výslednom produkte sa izoluje celá časť, ktorá sa považuje za vedúcu.

číslica čísla v dvojkovej číselnej sústave;

Algoritmus končí, ak je zlomková časť výsledného produktu nula alebo ak

bola dosiahnutá požadovaná presnosť výpočtu. V opačnom prípade budú výpočty pokračovať

zlomková časť produktu.

Príklad: Musíte previesť zlomkové desatinné číslo 206.116 na zlomkové binárne číslo.

Preložením celej časti dostaneme 206 10 = 11001110 2. Zlomková časť 0,116 sa vynásobí základom 2,

Celé časti výrobku uvádzame na desatinné miesta:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

výsledok: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Algoritmus na prevod čísel z jedného číselného systému do druhého.

1. Zo sústavy desiatkových čísel:

vydeliť číslo základom preloženej číselnej sústavy;

nájdite zvyšok pri delení celej časti čísla;

zapíšte si všetky zvyšky z delenia v opačnom poradí;

2. Z dvojkovej číselnej sústavy:

na prevod do desiatkovej číselnej sústavy nájdeme súčet súčinov základu 2 by

primeraný stupeň vypúšťania;

Môže byť užitočné prečítať si: