Pozitsion sanoq sistemalarida sonlarning tarjimasi. Sanoq tizimlari

Ikkilik, sakkizlik va o'n oltilik tizimlardagi raqamlarni o'nlik sanoqqa aylantirish juda oson. Buni amalga oshirish uchun siz kengaytirilgan shaklda raqamni yozishingiz va uning qiymatini hisoblashingiz kerak.

Sonni ikkilik sistemadan o‘nlik sistemaga o‘tkazish. Har qanday ikkilik sonni olaylik, masalan 10.112. Keling, uni kengaytirilgan shaklda yozamiz va hisob-kitoblarni qilamiz:

10.112 = 1* 21 +0*2° + 1*2-1 + 1*2-2 = 1*2 + 0*1 + 1*1/2 + 1*1/4 = 2.7510.

Raqamlarni sakkizlikdan o'nlikka o'tkazish.

Har qanday sakkizlik sonni olaylik, masalan, 67,58. Keling, uni kengaytirilgan shaklda yozamiz va hisob-kitoblarni qilamiz:

67.58 = 6*81 + 7*8° + 5*8-1 = 6*8 + 7*1 + 5*1/8 = 55.62510.

Raqamlarni o‘n oltilik sistemadan o‘nlikka o‘tkazish.

Har qanday o'n oltilik sonni olaylik, masalan, 19F16. Keling, uni kengaytirilgan shaklda yozamiz (esda tutingki, F o'nlik kasr 15 raqamiga mos keladi) va hisob-kitoblarni bajaring:

19F16 = 1 * 162 + 9 * 161 + F * 16 ° = 1 * 256 + 9 * 16 + 15 * 1 = 41510.

Raqamlarni o‘nlik sanoqdan ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq tizimiga o‘tkazish ancha murakkab va har xil usullarda amalga oshirilishi mumkin. Keling, raqamlarni o'nlik sistemadan ikkilik tizimga o'tkazish misolida tarjima algoritmlaridan birini ko'rib chiqaylik. Shuni hisobga olish kerakki, butun sonlar va to'g'ri kasrlarni aylantirish algoritmlari har xil bo'ladi.

Butun o‘nli sonlarni ikkilik sanoq sistemasiga o‘tkazish algoritmi. Acd butun o'nli son bo'lsin. Keling, uni ikkilik koeffitsientli 2-bazaning darajalari yig'indisi sifatida yozamiz. Kengaytirilgan shaklda bazaning salbiy kuchlari bo'lmaydi (2-raqam):

Acd= an-1*2n-1+ an-2*2n-2+…+ a1*21+a0*20

Birinchi bosqichda biz A sonini ikkilik sistemaning asosiga, ya'ni 2 ga bo'lamiz. Bo'linishning ko'rsatkichi teng bo'ladi.

an-1*2n-2+ an-2*2n-3+…+ a1

Ikkinchi bosqichda biz yana butun sonni 2 ga bo'lamiz, bo'linishning qolgan qismi endi a0 ga teng bo'ladi.

Agar bu bo'linish jarayonini davom ettirsak, n-bosqichdan keyin biz qoldiqlar ketma-ketligini olamiz:

a0, a1, ..., an-1

Ularning ketma-ketligi siqilgan shaklda yozilgan butun ikkilik sonning raqamlarining teskari ketma-ketligiga mos kelishini ko'rish oson:

A2 = an-1…a1a0

Shunday qilib, kerakli ikkilik raqamni olish uchun qoldiqlarni teskari tartibda yozish kifoya.

Butun o‘nlik sonni ikkilik sistemaga o‘tkazish algoritmi quyidagicha bo‘ladi:

Bo'luvchidan kichik, ya'ni 2 dan kichik bo'lguncha dastlabki butun o'nlik sonni va natijada olingan butun sonlarni tizim asosiga (2 ga) bo'ling.

Olingan qoldiqlarni teskari tartibda yozing.

Misol tariqasida, natijalarni jadvalga yozib, 19 o'nli sonni ikkilik raqamga aylantirishni ko'rib chiqing:

Natijada, biz ikkilik sonni olamiz: A2 = a 4 a 3a 2a1 a0 = 100112.

To'g'ri o'nli kasrlarni ikkilik sanoq tizimiga o'tkazish algoritmi. A to'g'ri kasr bo'lsin. Kengaytirilgan shaklda bazaning ijobiy kuchlari bo'lmaydi (2-raqam):

Qo'shish = a-1*2-1+ a-2*2-2

Birinchi bosqichda Qo'shish sonini ikkilik tizimning asosiga, ya'ni 2 ga ko'paytiramiz. Mahsulot quyidagiga teng bo'ladi:

a-1 +a-2*2-1+…

Butun qism a-1 ga teng bo'ladi

Ikkinchi bosqichda biz qolgan kasr qismini yana 2 ga ko'paytiramiz, biz a-2 ga teng butun sonni olamiz.

Ta'riflangan jarayonni ko'paytirish natijasida biz nol kasr qismini olguncha yoki kerakli hisoblash aniqligiga erishilgunga qadar davom ettirilishi kerak.

Olingan sonlar ketma-ketligi yiqilgan shaklda yozilgan kasr ikkilik sonning raqamlar ketma-ketligiga mos kelishini payqash oson:

To'g'ri o'nli kasrni ikkilik kasrga o'tkazish algoritmi quyidagicha bo'ladi:

1. Nol kasr qismi olinmaguncha yoki kerakli hisoblash aniqligiga erishilgunga qadar mahsulotlarning dastlabki o'nli kasr va hosil bo'lgan kasr qismlarini tizimning asosiga (2 ga) doimiy ravishda ko'paytiring.
2. Ishning hosil bo'lgan butun qismlarini to'g'ridan-to'g'ri ketma-ketlikda yozing.

Misol tariqasida, natijalarni jadvalga yozib, 0,75 o'nlik kasrni ikkilik kasrga aylantirishni ko'rib chiqing:

Natijada, biz ikkilik kasrni olamiz: A2 = 0 va -1a-2 = 0,112.

Raqamlarni ixtiyoriy asosli p pozitsion sistemadan q asosli sistemaga o'tkazish yuqorida ko'rib chiqilganlarga o'xshash algoritmlar yordamida amalga oshiriladi.

A10 = 42410 o‘nlik butun sonni o‘n oltilik sistemaga, ya’ni asosi p=10 bo‘lgan sanoq sistemasidan asosi q=16 bo‘lgan sanoq sistemasiga o‘tkazish misolida butun sonlarni o‘tkazish algoritmini ko‘rib chiqamiz.

Algoritmni bajarish jarayonida e'tibor berish kerakki, barcha amallar dastlabki sanoq sistemasida (bu holda o'nli kasrda) bajarilishi kerak, natijada qolganlar esa yangi sanoq sistemasining raqamlarida yozilishi kerak (da). bu holda, o'n oltilik).

Endi A10=0,625 o‘nli kasrni sakkizlik sistemaga, ya’ni asosi p=10 bo‘lgan sanoq sistemasidan asosi q=8 bo‘lgan sanoq sistemasiga o‘tkazish misolida kasr sonlarni o‘tkazish algoritmini ko‘rib chiqamiz.

Asoslari 2 (q = 2n) darajalari bo‘lgan sanoq sistemalari o‘rtasida raqamlarni o‘zgartirishni soddaroq algoritmlar yordamida amalga oshirish mumkin. Bunday algoritmlardan sonlarni ikkilik (q = 21), sakkizlik (q = 23) va o‘n oltilik (q = 24) sanoq sistemalari o‘rtasida o‘zgartirish uchun foydalanish mumkin.

Sonlarni ikkilik sistemadan sakkiztalikka o'tkazish. Ikkilik raqamlarni yozish uchun ikkita raqam ishlatiladi, ya'ni raqamning har bir raqamida 2 ta yozish varianti mavjud. Eksponensial tenglamani yechamiz:

2 = 21. 2 21 bo'lgani uchun I = 1 bit.

Ikkilik sonning har bir biti 1 bit yozib olish opsiyasi ma'lumotlarini o'z ichiga oladi. Keling, ko'rsatkichli tenglamani yechamiz

8 = 2i. 8 = 23 bo'lgani uchun, I = 3 bit. Sakkizlik sonning har bir varianti 3 bit ma'lumotni o'z ichiga oladi

Demak, butun sonli ikkilik sonni sakkizlik songa aylantirish uchun uni o‘ngdan chapga uchta raqamdan iborat guruhlarga bo‘lish va keyin har bir guruhni sakkizlik raqamga aylantirish kerak. Agar oxirgi, chap guruhda uchtadan kam raqam bo'lsa, u chap tomonda nol bilan to'ldirilishi kerak.

1010012 ikkilik sonini shu tarzda sakkizlikka aylantiramiz: 518

Tarjimani soddalashtirish uchun siz ikkilik triadalarni (3 xonali guruhlar) sakkizlik raqamlarga aylantirish uchun jadvalni oldindan tayyorlashingiz mumkin:

to'rtta raqamdan kam bo'ladi, keyin uni o'ng tomonda nol bilan to'ldirishingiz kerak.

Keyin har bir guruhni ikkilik tetradlar va o'n oltilik raqamlar o'rtasidagi oldindan tuzilgan yozishmalar jadvalidan foydalanib, o'n oltilik raqamga aylantirishingiz kerak.

A2 = 1010012 ikkilik butun sonni o‘n oltilik songa aylantiramiz:

Kasrli ikkilik sonni (to'g'ri kasrni) sakkizlikka aylantirish uchun uni chapdan o'ngga triadalarga bo'lish kerak va agar oxirgi, o'ng guruhda uchtadan kam raqam bo'lsa, o'ngga nol qo'shing. Keyinchalik, triadalarni sakkizlik sonlar bilan almashtirishingiz kerak.

Masalan, A2 = = 0,1101012 kasrli ikkilik sonni sakkizlik sanoq sistemasiga aylantiramiz:

Biz olamiz: A8 = 0,658.

Raqamlarni ikkilikdan o'n oltilik tizimga o'tkazish.

O'n oltilik raqamlarni yozish uchun o'n oltita raqam ishlatiladi, ya'ni raqamning har bir raqamida 16 ta yozish varianti mavjud. Eksponensial tenglamani yechamiz:

16 = 21. 16 = 24 bo'lgani uchun, I = 4 bit.

O'n oltilik sonning har bir raqami 4 bit ma'lumotni o'z ichiga oladi.

Shunday qilib, butun sonli ikkilik sonni o'n oltilik songa aylantirish uchun uni o'ngdan boshlab to'rtta raqamdan (tetradalar) iborat guruhlarga bo'lish kerak va agar oxirgi chap guruhda to'rttadan kam raqam bo'lsa, uni chap tomonda nol bilan to'ldirish kerak. Kasrli ikkilik sonni (to'g'ri kasrni) o'n oltilik songa aylantirish uchun siz uni chapdan o'ngga tetradalarga bo'lishingiz kerak va agar oxirgi o'ng guruhda 4 tadan kam raqam bo'lsa, uni o'ng tomonda nol bilan to'ldirishingiz kerak.

Har qanday ikkilik sonni sakkizlik yoki oʻn oltilik sanoq sistemalariga aylantirish uchun uning butun va kasr qismlari uchun alohida yuqorida koʻrib chiqilgan algoritmlardan foydalangan holda oʻzgartirishni amalga oshirish zarur.

Raqamlarni sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalaridan ikkilik sistemaga o‘tkazish uchun sonning raqamlarini ikkilik raqamlar guruhlariga aylantirish kerak. Sakkizlikdan ikkilik raqamga o'tkazish uchun sonning har bir raqamini uchta ikkilik raqamlar guruhiga (triada), o'n oltilik sonni o'zgartirganda esa to'rtta raqamli guruhga (tetrada) aylantirish kerak.

Masalan, A8 = 0,478 kasr sakkizlik sonini ikkilik sanoq sistemasiga aylantiramiz:

Savol bo'limida o'nlik sanoq sistemasidan ikkilik sanoq sistemasiga qanday o'tish mumkin? muallif tomonidan berilgan Tatyana Tatyana eng yaxshi javob O'nli sonlarni ikkilik sanoqli sistemaga o'tkazish

Aytaylik, 19 raqamini ikkilik raqamga aylantirishimiz kerak. Siz quyidagi protseduradan foydalanishingiz mumkin:

19 /2 = 9 qoldiq 1
9/2 = 4, qoldiq 1
4/2 = 2, qolgan 0
2 /2 = 1, qolgan 0
1/2 = 0, qolgan 1

Shunday qilib, biz har bir qismni 2 ga bo'lamiz va 1 yoki 0 ni qoldiq sifatida yozamiz, biz dividendda 1 bo'lgunga qadar bo'linishni davom ettirishimiz kerak, biz oxiridan boshlab qolgan raqamlarni qo'yamiz. Natijada biz ikkilik yozuvda 19 raqamini olamiz (oxiridan boshlab): 10011.

Omad))

dan javob Rosella[guru]

19 ni ikkilik sistemaga aylantirish uchun biz yuqori qatordan 19 ga qoldiqsiz bo'linadigan eng katta sonni tanlaymiz. qoldiq 2. (1 qoladi) 1 1 ga qoldiqsiz bo'linadi. Biz 16 - 2 - 1 raqamlarini tanladik. Ularning ostida biz "1", qolganlari ostida "0" yozamiz. Biz 10011 ni olamiz.
Bu so'z bilan aytganda, juda og'ir ko'rinadi. Ammo stolga diqqat bilan qarasangiz, unda hech qanday murakkab narsa yo'q. U tezda eslab qoladi va tarjima qilish uchun qalam yoki qog'oz kerak emas.

Ikkilik sanoq sistemasida faqat ikkita raqamdan foydalaniladi, 0 va 1. Boshqacha aytganda, ikkita ikkilik sanoq sistemasining asosi hisoblanadi. (Shunga o'xshab, o'nli tizimning asosi 10 ga teng.)

Ikkilik sanoq sistemasidagi raqamlarni tushunishni o'rganish uchun avvalo bizga tanish bo'lgan o'nlik sanoq sistemasida sonlar qanday hosil bo'lishini ko'rib chiqing.

O'nlik sanoq sistemasida bizda o'nta raqam mavjud (0 dan 9 gacha). Hisoblash 9 ga yetganda, yangi raqam (o'nlik) kiritiladi, birlar nolga qaytariladi va hisoblash yana boshlanadi. 19 dan keyin o'nlar soni 1 ga ortadi va birliklar yana nolga qaytariladi. Va hokazo. O'nlik 9 ga yetganda, uchinchi raqam paydo bo'ladi - yuzlar.

Ikkilik sanoq sistemasi oʻnlik sanoq sistemasiga oʻxshaydi, faqat sonning hosil boʻlishida faqat ikkita raqam ishtirok etadi: 0 va 1. Raqam oʻz chegarasiga (yaʼni bitta) yetgan zahoti yangi raqam paydo boʻladi va eskisi nolga qaytariladi.

Keling, ikkilik tizimda hisoblashga harakat qilaylik:
0 nolga teng
1 bitta (va bu zaryadsizlanish chegarasi)
10 - ikkita
11 - uchta (va bu yana chegara)
100 - to'rt
101 - besh
110 - olti
111 - etti va boshqalar.

Raqamlarni ikkilik sistemadan o‘nlik sistemaga o‘tkazish

Ikkilik sanoq sistemasida qiymatlar oshgani sayin raqamlarning uzunligi tez ortib borishini payqash qiyin emas. Bu nimani anglatishini qanday aniqlash mumkin: 10001001? Raqamlarni yozishning bunday shakliga o'rganmagan inson miyasi odatda uning qanchalik ko'p ekanligini tushunolmaydi. Ikkilik sonlarni o'nlik sanoqqa aylantira olsak yaxshi bo'lardi.

O'nlik sanoq sistemasida istalgan son birliklar yig'indisi, o'nlik, yuzlik va hokazolar sifatida ifodalanishi mumkin. Masalan:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Ushbu yozuvni diqqat bilan ko'rib chiqing. Bu erda 1, 4, 7 va 6 raqamlari 1476 raqamini tashkil etuvchi raqamlar to'plamidir. Bu raqamlarning barchasi o'z navbatida bir darajaga ko'tarilgan o'nga ko'paytiriladi. O'nlik o'nlik sanoq sistemasining asosidir. O'nta ko'tarilgan quvvat minus bir raqamning raqamidir.

Har qanday ikkilik raqam ham xuddi shunday tarzda kengaytirilishi mumkin. Bu erda faqat baza 2 bo'ladi:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Bular. 2-asosdagi 10001001 soni 10-asosdagi 137 raqamiga teng. Uni quyidagicha yozishingiz mumkin:

10001001 2 = 137 10

Nima uchun ikkilik sanoq sistemasi keng tarqalgan?

Gap shundaki, ikkilik sanoq sistemasi kompyuter texnikasi tilidir. Har bir raqam qandaydir tarzda jismoniy vositada ifodalanishi kerak. Agar bu o'nlik tizim bo'lsa, unda siz o'nta holatga ega bo'lishi mumkin bo'lgan qurilma yaratishingiz kerak bo'ladi. Bu qiyin. Faqat ikkita holatda bo'lishi mumkin bo'lgan jismoniy elementni qilish osonroq (masalan, oqim mavjud yoki oqim yo'q). Bu ikkilik sanoq sistemasiga katta e’tibor berilishining asosiy sabablaridan biridir.

O'nlik sonni ikkilik sanoqqa o'tkazish

O'nlik sonni ikkilik raqamga aylantirishingiz kerak bo'lishi mumkin. Buning bir usuli - ikkiga bo'lish va qolgandan ikkilik son hosil qilish. Masalan, siz uning ikkilik belgisini 77 raqamidan olishingiz kerak:

77/2 = 38 (1 qolgan)
38/2 = 19 (0 qoldi)
19/2 = 9 (1 qolgan)
9/2 = 4 (1 qoldiq)
4/2 = 2 (0 qolgan)
2/2 = 1 (0 qolgan)
1/2 = 0 (1 qoldiq)

Biz oxiridan boshlab qoldiqlarni birga yig'amiz: 1001101. Bu ikkilik ko'rinishdagi 77 raqami. Keling, tekshiramiz:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Sanoq tizimlari

Keyinchalik konvertatsiya qilish qulayligi uchun diskret signalga duchor bo'ladi kodlash(kodlash uchun bo'limga qarang Signalni kodlash). Ko'pgina kodlar sanoq tizimlariga asoslanadi, bundan tashqari, har bir raqamning qiymati uning raqamdagi pozitsiyasiga bog'liq bo'lgan raqamlarni shakllantirishning pozitsion printsipidan foydalanadi.

Raqamlarni yozishning pozitsion shakliga misol qilib, biz foydalanadigan (sonlarning arabcha shakli deb ataladi) misol bo'la oladi. Shunday qilib, 123 va 321 raqamlarida 3 raqamining ma'nosi, masalan, raqamdagi o'rni bilan belgilanadi: birinchi holda, u uchta birlikni (ya'ni, faqat uchta), ikkinchisida esa uchtani bildiradi. yuzlab (ya'ni, uch yuz).

Keyin umumiy raqam quyidagi formula bo'yicha olinadi:

Qayerda l - raqamning raqamlari soni 1 ga kamaytirildi,

i- bo'shatish tartibi,

m- sanoq tizimining asosi;

a i– 0 dan ixtiyoriy butun son qiymatini oladigan multiplikator m-1 va tegishli raqam i- raqamning tartibi.

Masalan, kasr uchun ( m= 10) 345 raqamining to'liq qiymati quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

3*10 2 + 4*10 1 + 5*10 0 = 345.

Rim raqamlari son hosil qilishning yarim pozitsion tizimiga misoldir: shunday qilib, IX va XI raqamlarda I belgisi ikkala holatda ham bittani bildiradi (nopozitsion tizim belgisi), lekin chap tomonda joylashgan. X belgisi (o'nni bildiradi) o'ndan ayiriladi va o'ng tomonda joylashganda - o'nga qo'shiladi. Birinchi holda, raqamning to'liq qiymati 9, ikkinchisida - 11.

Zamonaviy informatikada asosan uchta sanoq sistemasi (barchasi pozitsion) mavjud: ikkilik, o‘n oltilik va o‘nlik.

Ikkilik sanoq sistemasi iste'molchisi kompyuter texnologiyasi bo'lgan diskret signalni kodlash uchun ishlatiladi. Bu holat tarixan rivojlangan, chunki ikkilik signalni apparat darajasida ifodalash osonroq. Bu sanoq sistemasida raqamlarni ifodalash uchun ikkita belgidan foydalaniladi - 0 va 1.

O‘n oltilik sanoq sistemasi diskret signalni kodlash uchun ishlatiladi, uning iste'molchisi yaxshi o'qitilgan foydalanuvchi - kompyuter fanlari sohasidagi mutaxassis. Ushbu shakl o'rnatilgan operatsion tizim qobiqlari orqali so'ralgan har qanday faylning mazmunini ifodalaydi, masalan, MS DOS holatida Norton Commander yordamida. Raqamni ifodalash uchun ishlatiladigan belgilar 0 dan 9 gacha bo'lgan o'nlik raqamlar va lotin alifbosining harflari - A, B, C, D, E, F.

O'nlik sanoq tizimi iste'molchisi oxirgi foydalanuvchi deb ataladigan diskret signalni kodlash uchun ishlatiladi - kompyuter fanlari sohasidagi mutaxassis bo'lmagan (shubhasiz, har qanday shaxs bunday iste'molchi sifatida harakat qilishi mumkin). Raqamni ifodalash uchun ishlatiladigan belgilar 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlardir.

Raqamlar ifodalangan sanoq tizimlarini farqlash uchun ikkilik va oʻn oltilik sonlarni belgilashda qoʻshimcha maʼlumotlar kiritiladi:

ikkilik raqamlar uchun - raqamning o'ng tomonidagi 2 raqami yoki B yoki b (ikkilik) harflari ko'rinishidagi pastki belgisi yoki raqamning o'ng tomonidagi B yoki b belgisi. Masalan, 101000 2 = 101000 b = 101000 B = 101000B = 101000b;

o'n oltilik raqamlar uchun - sonning o'ng tomonidagi 16 raqami yoki H yoki h harflari (on oltilik - o'n oltilik) ko'rinishidagi pastki belgisi yoki raqamning o'ng tomonidagi H yoki h belgisi. Masalan, 3AB 16 = 3AB H = 3AB h = 3ABH = 3ABh.

Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazishda ma’lum qoidalar mavjud. Ular sonning formatiga qarab farqlanadi - butun yoki to'g'ri kasr. Haqiqiy sonlar uchun butun son va to'g'ri kasr uchun tarjima qoidalarining kombinatsiyasi qo'llaniladi

Butun sonlarni aylantirish qoidalari

Butun sonni aylantirish natijasi Har doim butun sondir.

O‘nlik sanoq sistemasidan ikkilik va o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazish:

a) asl butun son o‘zi tarjima qilingan sanoq sistemasi bazasiga bo‘linadi (2 ga – ikkilik sanoq sistemasiga o‘tkazilganda yoki 16 ga – o‘n oltilik sistemaga o‘tkazilganda); qism va qoldiq olinadi;

b) agar hosil bo'lgan qism ayirboshlash amalga oshiriladigan sanoq tizimining asosidan kichik bo'lsa, bo'linish jarayoni to'xtaydi, c) bosqichga o'ting. Aks holda, a) qadamda tasvirlangan harakatlar ko'rsatkich bo'yicha bajariladi.

v) barcha olingan qoldiqlar va oxirgi qism ayirboshlash jadvaliga muvofiq ayirboshlash amalga oshiriladigan sanoq tizimining raqamlariga aylantiriladi;

d) hosil bo'lgan son hosil bo'ladi: uning eng yuqori raqami olingan oxirgi qismdir, har bir keyingi pastki raqam oxirgidan boshlab va birinchisi bilan tugaydigan bo'linish qoldiqlaridan hosil bo'ladi. Shunday qilib, natijada olingan sonning eng kam ahamiyatli raqami bo'linishning birinchi qoldig'i, eng yuqori raqami esa oxirgi qismdir.

1-misol . 19 raqamini ikkilik sanoq sistemasiga aylantiring:

Shunday qilib, 19 = 10011 2.

2-misol . 19 raqamini o'n oltilik sanoq tizimiga o'tkazing:

Shunday qilib, 19 = 13 16.

3-misol. 123 sonini o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazing:

Bu erda qolgan 11 o'n oltilik raqamga aylantiriladi B) va undan keyin bu raqam raqamga kiritiladi. Shunday qilib, 123 = 7V 16.

Ikkilik va o‘n oltilik sanoq sistemalaridan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish.

Bunday holda, ma'lum bo'lgan raqam yordamida raqamning to'liq qiymati hisoblanadi formula.

4-misol. 13 16 sonini o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazing. Bizda ... bor:

13 16 = 1*16 1 + 3*16 0 = 16 + 3 = 19.

Shunday qilib, 13 16 = 19.

5-misol. 10011 2 sonini o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazing. Bizda ... bor:

10011 2 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16+0+0+2+1 = 19.

Shunday qilib, 10011 2 = 19.

a) asl raqam eng kam ahamiyatli raqamlardan boshlab tetradalarga (ya'ni 4 ta raqamga) bo'linadi. Agar asl ikkilik sonning raqamlari soni 4 ga karrali bo'lmasa, u 4 ning karraligacha erishilgunga qadar chap tomonda ahamiyatsiz nollar bilan to'ldiriladi;

b) har bir tetrad ga muvofiq mos keladigan o'n oltilik raqam bilan almashtiriladi stol.

Ikkilik raqam	O'n oltilik raqam

6-misol. 10011 2 sonini o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazing.

Asl ikkilik sondagi raqamlar soni 4 ga karrali bo'lmaganligi sababli, raqamlar soni 4 ga karrali bo'lgunga qadar biz uni chap tomonda ahamiyatsiz nollar bilan to'ldiramiz. Bizda ... bor:

Ga muvofiq stol 0011 2 = 11 2 = 3 16 va 0001 2 = 1 2 = 1 16.

Keyin 10011 2 = 13 16.

Ikkilikdan sakkizlikka o'tkazish

Ikkilikdan o'n oltilik tizimga o'tkazish algoritmiga o'xshab, faqat asl raqam triadalarga bo'linadi. Jadval

Ikkilik raqam	O'n oltilik raqam

a) asl sonning har bir raqami ga muvofiq ikkilik raqamlar tetradasi bilan almashtiriladi stol. Jadvaldagi ikkilik raqam 4 tadan kam bo'lsa, u chap tomonda tetrada uchun ahamiyatsiz nollar bilan to'ldiriladi;

b) hosil bo'lgan sondagi ahamiyatsiz nollar o'chiriladi.

7-misol. 13 16 sonini ikkilik sanoq sistemasiga aylantiring.

tomonidan stol bizda ... bor:

1 16 = 1 2 va ikkilik sonning ahamiyatsiz nollari bilan to'ldirilgandan keyin 1 2 = 0001 2;

3 16 = 11 2 va 11 2 = 0011 2 ikkilik sonining ahamiyatsiz nollari bilan to'ldirilgandan keyin.

Keyin 13 16 = 00010011 2. Arzimas nollarni olib tashlaganimizdan so'ng bizda 13 16 = 10011 2 bo'ladi.

Sakkizlikdan ikkilikgacha bir xil.

To'g'ri kasrlarni aylantirish qoidalari

Eslatib o'tamiz, to'g'ri kasr nol butun qismga ega, ya'ni. uning soni maxrajidan kichik.

To'g'ri kasrni aylantirish natijasi Har doim to'g'ri kasr.

O‘nlik sanoq sistemasidan ikkilik va o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazish:

a) asl kasr o'zi aylantirilgan sanoq sistemasi asosiga ko'paytiriladi (2 yoki 16);

b) hosil bo'lgan ko'paytmada butun qism kerakli sanoq tizimining raqamiga aylantiriladi va o'chiriladi - bu hosil bo'lgan kasrning eng yuqori raqamidir;

v) qolgan kasr qismi (bu to'g'ri kasr) yana sanoq tizimining kerakli asosiga ko'paytiriladi, so'ngra a) va b) bosqichlarga muvofiq hosil bo'lgan mahsulot qayta ishlanadi.

d) ko'paytirish jarayoni mahsulotning kasr qismida nol natija olinmaguncha yoki natijada kerakli raqamlar soniga erishilgunga qadar davom etadi;

e) kerakli son hosil bo'ladi: b) bosqichda ketma-ket tashlangan raqamlar natijaning kasr qismini tashkil qiladi va ustunlikning kamayishi tartibida.

1-misol . 0,847 sonni ikkilik sanoq sistemasiga aylantiring. Kasrdan keyin to'rtta muhim raqamga aylantiring.

Shunday qilib, 0,847 = 0,1101 2.

Ushbu misolda, tarjima qilish jarayoni to'rtinchi bosqichda to'xtatiladi, chunki natijaning kerakli soni raqamlari olingan. Shubhasiz, bu bir qator raqamlarning yo'qolishiga olib keldi.

2-misol. 0,847 sonini o‘n oltilik sanoq sistemasiga o‘tkazing. Uchta muhim raqamga aylantiring.

Ushbu misolda uzatish jarayoni ham to'xtatiladi.

Shunday qilib, 0,847 = 0,D8D 16.

Tarjima ikkilik va oʻn oltilik sanoq sistemalaridan oʻnlik sanoq sistemalariga.

Bunday holda, raqamning to'liq qiymati tomonidan hisoblanadi formula, va koeffitsientlar a i kasrli qiymatni oling

3-misol . Ikkilik sanoq sistemasidan o‘nlik songa o‘tkazish 0,1101 2.

0,1101 2 = 1*2 -1 + 1*2 -2 + 0*2 -3 +1*2 -4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,8125.

misol 1) ikkilik kasrga aylantirish protsedurasi uzilib qolganligi sababli yuzaga keladi.

Shunday qilib, 0,1101 2 = 0,8125.

4-misol . O‘n oltilik sanoq sistemasidan o‘nlik 0,D8D 16 soniga o‘tkazish.

0.D8D 16 = 13*16 -1 + 8*16 -2 + 13*16 -3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,84692.

Olingan natija va asl raqam o'rtasidagi nomuvofiqlik (qarang. misol 2) o'n oltilik kasrga o'tkazish protsedurasi to'xtatilganligi sababli yuzaga keladi.

Shunday qilib, 0.D8D 16 = 0.84692.

Ikkilikdan o'n oltilik tizimga o'tkazish:

a) asl kasr o'nli kasr o'rnidan o'ng tomonga boshlab tetradalarga bo'linadi. Agar asl ikkilik sonning kasr qismining raqamlari soni 4 ga karrali bo'lmasa, u 4 ning karraligacha erishilgunga qadar o'ng tomonda ahamiyatsiz nollar bilan to'ldiriladi;

b) har bir tetrad ga muvofiq o'n oltilik raqam bilan almashtiriladi stol.

5-misol . Ikkilik sanoq sistemasidan 0,1101 2 o‘n oltilik songa o‘tkazish.

Ga muvofiq stol 1101 2 = D 16. Keyin 0,1101 2 = 0,D 16.

6-misol . Ikkilik sanoq sistemasidan 0,0010101 2 o‘n oltilik songa o‘tkazish.

Kasr qismining raqamlari soni 4 ga karrali bo'lmaganligi sababli, biz o'ng tomonga ahamiyatsiz nol qo'shamiz:

Ga muvofiq stol 0010 2 = 10 2 = 2 16 va 1010 2 = A 16.

Keyin 0,0010101 2 = 0,2A 16.

O'n oltilik tizimdan ikkilik tizimga o'tkazish:

a) asl kasrning har bir raqami ga muvofiq ikkilik raqamlar tetradasi bilan almashtiriladi stol;

b) ahamiyatsiz nollar o'chiriladi.

7-misol . O‘n oltilik sanoq sistemasidan 0,2A 16 ikkilik songa o‘tkazing.

tomonidan stol bizda 2 16 = 0010 2 va A 16 = 1010 2 bor.

Keyin 0,2A 16 = 0,00101010 2.

Natijada ahamiyatsiz noldan voz kechamiz va yakuniy javobni olamiz: 0,2A 16 = 0,0010101 2

Kasrlarni aylantirish qoidasi (tartibsiz kasrlar)

Eslatib o'tamiz, noto'g'ri kasr nolga teng bo'lmagan kasr qismga ega, ya'ni. uning soni maxrajidan katta.

Noto'g'ri kasr konvertatsiyasi natijasi Har doim noto'g'ri kasr.

Tarjima qilinayotganda sonning butun qismi alohida, kasr qismi alohida tarjima qilinadi. Natijalar qo'shiladi.

1-misol . O‘nlik sanoq sistemasidan 19.847 o‘nlik sanoq tizimiga o‘tkazish. Tarjima kasrdan keyin uchta muhim raqamga amalga oshiriladi.

Keling, asl sonni butun son va to'g'ri kasr yig'indisi sifatida tasavvur qilaylik:

19,847 = 19 + 0,847.

dan quyidagicha misol 2 Bo'lim Butun son konvertatsiyasi 19 = 13 16, va muvofiq misol 2 Bo'lim To'g'ri kasrlarning tarjimasi 0,847 = 0,D8D 16.

Keyin bizda:

19 + 0,847 = 13 16 + 0.D8D 16 = 13.D8D 16.

Shunday qilib, 19.847 = 13.D8D 16.

Oddiy arifmetik amallarni bajarish qoidalari

Ikkilik va o‘n oltilik sonlar uchun arifmetik amallar o‘quvchiga tanish bo‘lgan o‘nlik sonlar bilan bir xil qoidalarga amal qiladi. Butun sonlar uchun qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish kabi arifmetik amallarni bajarish misollarini ko‘rib chiqamiz.

Qo'shish qoidalari

Ikkilik raqamlarni qo'shish jadvali quyidagicha ko'rinadi (yig'indisi qiymatlar sariq rang bilan belgilangan):

1-misol . Katlamoq ikkilik 1101 va 11011 raqamlari.

Raqamlar bo'yicha yig'indini shakllantirish jarayoni quyida tavsiflanadi:

a) 1-darajali: 1 2 + 1 2 = 10 2; 0 1-bitda qoladi, 1-bit 2-ga o'tkaziladi;

b) 2-raqam: 0 2 + 1 2 + 1 2 = 10 2, bu erda ikkinchi 1 2 tashish birligi; 0 2-bitda qoladi, 1-bit 3-ga o'tkaziladi;

c) 3-raqam: 1 2 + 0 2 + 1 2 = 10 2, bu erda ikkinchi 1 2 tashish birligi; 0 3-bitda qoladi, 1-bit 4-ga o'tkaziladi;

d) 4-raqam: 1 2 + 1 2 + 1 2 = 11 2, bu erda uchinchi 1 2 - tashish birligi; 1 4-raqamda qoladi, 1-raqam 5-raqamga o'tkaziladi;

e) 5-darajali: 1 2 + 1 2 = 10 2; bu erda ikkinchi 1 2 - uzatish birligi; 0 5-bitda qoladi, 1-bit 6-ga o'tkaziladi.

Shunday qilib: 1 1 0 1 2 +1 1 0 1 1 2 = 10 1 0 0 0 2.

Keling, natijani tekshiramiz. Buning uchun biz shartlar va summalarning to'liq qiymatlarini aniqlaymiz (qarang. Butun son konvertatsiyasi):

1101 2 = 1*2 3 +1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 8 + 4 + 1 = 13;

11011 2 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27;

101000 2 = 1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 = 32 + 8 = 40.

13 + 27 = 40 bo'lgani uchun, ikkilik qo'shish to'g'ri.

Ba'zi o'n oltilik raqamlarni qo'shish jadvali quyidagicha ko'rinadi (satr va ustunlarning belgilari shartlarga mos keladi):

2-misol . Katlamoq o'n oltilik 1C va 7B raqamlari.

Keling, shartlarni ustunga yozamiz va raqamlarni raqamlaymiz, eng kam ahamiyatli raqam 1 raqamini tayinlaymiz:

Berilganidan foydalanib, raqamlar bo'yicha natijani yaratish jarayoni jadvallar quyida tavsiflangan:

a) 1-toifa: C 16 + B 16 = 17 16; 7 1-o'rinda qoladi; 1 raqami 2 raqamiga o'tkaziladi;

b) 2-raqam: 1 16 + 7 16 + 1 16 = 9 16, bu erda ikkinchi 1 16 tashish birligidir.

Shunday qilib: 1 C 16 + 7 B 16 = 9 7 16.

Keling, natijani tekshiramiz. Buning uchun biz shartlarning to'liq qiymatlarini va natijani aniqlaymiz (qarang. Butun son konvertatsiyasi):

1C 16 = 1*16 1 + 12*16 0 = 16 + 12 = 28;

7B 16 = 7*16 1 + 11*16 0 = 112 + 11 = 123;

97 16 = 9*16 1 + 7*16 0 = 144 + 7 = 151.

28 + 123 = 151 bo'lgani uchun qo'shimcha to'g'ri.

Ayirish qoidalari

Ayirishda avval berilgan qo'shish jadvallari qo'llaniladi.

3-misol . dan ayirish ikkilik 101 raqamlari ikkilik 11 raqami.

Pozitsion sanoq sistemasi birinchi marta qadimgi Bobilda paydo bo'lgan. Hindistonda tizim shunday ishlaydi

noldan foydalangan holda pozitsion o'nlik raqamlash, hindlarning bu sanoq tizimi mavjud

arab xalqi qarz oldi, yevropaliklar esa ulardan oldi. Evropada bu tizim paydo bo'ldi

uni arab deb ataymiz.

Pozitsion tizim - barcha raqamlarning ma'nosi raqamdagi berilgan raqamning pozitsiyasiga (raqamiga) bog'liq.

Misollar, standart 10-son tizimi pozitsion tizimdir. Aytaylik, 453 raqami berilgan.

4 raqami yuzliklarni bildiradi va 400 raqamiga mos keladi, 5 - o'nlik soni va 50 qiymatiga to'g'ri keladi,

va 3 - birlik va qiymat 3. Raqam oshgani sayin qiymat ortib borishini payqash oson.

Shunday qilib, berilgan sonni 400+50+3=453 yig'indisi shaklida yozamiz.

Ikkilik sanoq sistemasi.

Bu erda faqat 2 ta raqam mavjud - 0 va 1. Ikkilik tizimning asosi- 2 raqami.

O'ng tomonning eng chetida joylashgan raqam birliklar sonini, ikkinchi raqam esa ko'rsatadi

Barcha raqamlarda faqat bitta raqam mumkin - nol yoki bitta.

Ikkilik sanoq sistemasidan foydalanib, har qanday natural sonni ifodalash orqali kodlash mumkin

Bu raqam nollar va birliklar ketma-ketligidir.

Misol: 10112 = 1*2 3 + 0*2*2+1*2 1 +1*2 0 =1*8 + 1*2+1=1110

O'nlik sanoq sistemasi kabi ikkilik sanoq sistemasi ham ko'pincha hisoblashda qo'llaniladi

texnologiya. Kompyuter o'z xotirasida matn va raqamlarni ikkilik kodda saqlaydi va uni dasturiy ravishda o'zgartiradi

ekrandagi tasvirga.

Ikkilik sonlarni qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish.

Ikkilik sanoq sistemasida qo‘shish jadvali:

10 (o'tkazish

yuqori darajali)

Ikkilik sanoq sistemasidagi ayirish jadvali:

(kattadan qarz

toifa) 1

Ustun qo'shishga misol (14 10 + 5 10 = 19 10 yoki 1110 2 + 101 2 = 10011 2):

+		1	1	1	0
+			1	0	1
	1	0	0	1	1

Ikkilik sanoq sistemasidagi ko‘paytirish jadvali:

Ustunni ko'paytirishga misol (14 10 * 5 10 = 70 10 yoki 1110 2 * 101 2 = 1000110 2):

*				1	1	1	0
*					1	0	1
+				1	1	1	0
+			1	1	1	0
=	1	0	0	0	1	1	0

Raqamni konvertatsiya qilish ikkilik sanoq sistemasida.

Ikkilik sistemani o'nlik sanoqqa o'tkazish uchun quyidagi ko'rsatkichlar jadvalidan foydalaning

2-asos:

Birinchi raqamdan boshlab har bir raqam 2 ga ko'paytiriladi. 1 dan keyingi nuqta deyiladi ikkilik nuqta.

Ikkilik sonlarni o‘nlik songa o‘tkazish.

Ikkilik raqam 110001 2 bo'lsin. O'nli kasrga aylantirish uchun uni yig'indi sifatida yozamiz

quyidagicha o'rin egallaydi:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Bir oz boshqacha:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Hisobni jadval sifatida yozish ham yaxshi:

Biz o'ngdan chapga harakat qilamiz. Barcha ikkilik birliklar ostida biz uning ekvivalentini quyidagi qatorga yozamiz.

Kasrli ikkilik sonlarni o‘nlik sonlarga o‘tkazish.

Mashq: 1011010, 101 2 sonini o‘nlik sistemaga aylantiring.

Berilgan raqamni quyidagi shaklda yozamiz:

1*2 6 +0*2 5 +1*2 4 +1*2 3 +0 *2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 -1 + 0 * 2 -2 + 1 * 2 -3 = 90,625

Boshqa yozib olish opsiyasi:

1*64+0*32+1*16+1*8+0*4+1*2+0*1+1*0,5+0*0,25+1*0,125 = 90,625

Yoki jadval shaklida:

								0.25	0.125

									0.125

O‘nli sonlarni ikkilik sanoqli sanoqli sonlarga o‘tkazish.

Aytaylik, siz 19 raqamini ikkilik raqamga aylantirishingiz kerak. Biz buni shunday qilishimiz mumkin:

19 /2 = 9 qolganlari bilan 1

9 /2 = 4 qolgan bilan 1

4 /2 = 2 izsiz 0

2 /2 = 1 izsiz 0

1 /2 = 0 qolganlari bilan 1

Ya'ni, har bir qism 2 ga bo'linadi va qolgan qismi ikkilik yozuvning oxiriga yoziladi. Bo'lim

bo'lakda nol bo'lmaguncha davom etadi. Natijani o'ngdan chapga yozamiz. Bular. pastroq

raqam (1) eng chapda bo'ladi va hokazo. Shunday qilib, biz ikkilik yozuvda 19 raqamiga egamiz: 10011.

Kasrli kasr sonlarni ikkilik sistemaga aylantirish.

Berilgan sonda butun qism bo'lsa, u kasr qismidan alohida aylantiriladi. Tarjima

Kasr sonni o‘nlik sanoq sistemasidan ikkilik sistemaga o‘tkazish quyidagicha sodir bo‘ladi:

Kasr ikkilik sanoq sistemasining asosiga ko'paytiriladi (2);

Olingan mahsulotda butun qism ajratiladi, u etakchi hisoblanadi.

ikkilik sanoq sistemasidagi sonning raqami;

Agar olingan mahsulotning kasr qismi nolga teng bo'lsa yoki bo'lsa, algoritm tugaydi

zarur hisoblash aniqligiga erishildi. Aks holda, hisob-kitoblar davom etadi

mahsulotning qisman qismi.

Misol: 206.116 kasrli kasr sonini kasrli ikkilik songa aylantirishingiz kerak.

Butun qismni tarjima qilsak, biz 206 10 =11001110 2 ni olamiz. 0,116 ning kasr qismi 2 asosga ko'paytiriladi,

Biz mahsulotning butun qismlarini o'nli kasrlarga joylashtiramiz:

0,116 . 2 = 0,232

0,232 . 2 = 0,464

0,464 . 2 = 0,928

0,928 . 2 = 1,856

0,856 . 2 = 1,712

0,712 . 2 = 1,424

0,424 . 2 = 0,848

0,848 . 2 = 1,696

0,696 . 2 = 1,392

0,392 . 2 = 0,784

Natija: 206,116 10 ≈ 11001110,0001110110 2

Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish algoritmi.

1. O‘nlik sanoq sistemasidan:

sonni tarjima qilingan sanoq tizimining asosiga bo'lish;

sonning butun qismini bo‘lishda qoldiqni topish;

bo'linishning barcha qoldiqlarini teskari tartibda yozing;

2. Ikkilik sanoq sistemasidan:

o'nlik sanoq sistemasiga o'tkazish uchun 2-sonli asosning ko'paytmalari yig'indisini topamiz

mos tushirish darajasi;

O'qish foydali bo'lishi mumkin: